Question

19．已知直線l₁經(jīng)過點（0，1），直線l₂過點（5，0），且l₁∥l₂．
（1）若l₁與l₂距離為5，求兩直線的方程；
（2）若l₁與l₂之間的距離最大，求最大距離，并求此時兩直線的方程．

Answer 1

分析 （1）分類討論：若l₁、l₂的斜率不存在，通過驗證即可得出；若l₁，l₂的斜率都存在時，利用兩條平行線的斜率之間的關(guān)系得出兩條直線的方程，進而得到平行線之間的距離．
（2）當經(jīng)過兩點的直線與兩點連線垂直時，距離最大．

解答 解：（1）①若l₁，l₂的斜率都存在時，
設直線的斜率為k，由斜截式得l₁的方程y=kx+1，即kx-y+1=0．
由點斜式可得l₂的方程y=k（x-5），即kx-y-5k=0．
在直線l₁上取點A（0，1），
則點A到直線l₂的距離d=$\frac{|1+5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，
∴25k²+10k+1=25k²+25，
∴k=$\frac{12}{5}$．
∴l(xiāng)₁：12x-5y+5=0，l₂：12x-5y-60=0．
②若l₁、l₂的斜率不存在，
則l₁的方程為x=0，l₂的方程為x=5，它們之間的距離為5．同樣滿足條件．
（2）當經(jīng)過兩點的直線與兩點連線垂直時，距離最大，此時斜率k=5，最大距離為$\sqrt{26}$，
l₁：5x-y+1=0，l₂：5x-y-25=0．

點評 本題考查了平行線之間的斜率關(guān)系及其距離、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．