Question

8．如圖，邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈BD，N∈AE且BM=EN≠BD．求證：MN⊥AB．

Answer 1

分析 過(guò)MO∥AD，交AB于O，連結(jié)NO，由已知推導(dǎo)出平面BCE∥平面OMN，再由AB⊥平面BCE，得到AB⊥OMN，由此能證明MN⊥AB．

解答 證明：過(guò)MO∥AD，交AB于O，連結(jié)NO，∴$\frac{BM}{BD}=\frac{BO}{BA}$，
∵邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈BD，N∈AE且BM=EN≠BD，
∴BD=EA，∴$\frac{EN}{EA}$=$\frac{BM}{BD}=\frac{BO}{BA}$，∴NO∥BE，
∵AD∥BC，∴MO∥BC，
∵BC∩BE=B，MO∩NO=O，
∴平面BCE∥平面OMN，
∵邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，
∴AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE=B，
∴AB⊥平面BCE，∴AB⊥OMN，
∵M(jìn)N?平面OMN，∴MN⊥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．