Question

1．若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 16
• C． 1
• D． 20

Answer 1

分析 由題意可得直線經(jīng)過圓心，可得4a+b=1，再由乘1法和基本不等式計算，即可得到所求最小值．

解答 解：由直線始終平分圓的周長，可得直線l經(jīng)過圓的圓心（-4，-1），
即有-4a-b+1=0，即4a+b=1，
又a＞0，b＞0，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）
=8+$\frac{a}$+$\frac{16a}$≥8+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{16a}}$=16．
當(dāng)且僅當(dāng)b=4a=$\frac{1}{2}$時，取得最小值16．
故選：B．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法和等號成立的條件，同時考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．