已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln xm.
(1)求f(x)在區(qū)間[tt+1]上的最大值h(t);
(2)是否存在實數(shù)m使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
當(dāng)t+1<4,即t<3時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;當(dāng)t≤4≤t+1即3≤t≤4時,h(t)=f(4)=16;
當(dāng)t>4時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減,
h(t)=f(t)=-t2+8t.
綜上,h(t)=
(2)函數(shù)yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點,即函數(shù)Φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.
Φ(x)=x2-8x+6ln xm,
Φ′(x)=2x-8+
 (x>0)
當(dāng)x∈(0, 1)時,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,3)時,Φ′(x)<0,Φ(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(3,+∞)時,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x=1或x=3時,Φ′(x)=0.
Φ(x)極大值Φ(1)=m-7,
Φ(x)極小值Φ(3)=m+6ln 3-15.
∵當(dāng)x充分接近0時,Φ(x)<0,當(dāng)x充分大時,Φ(x)>0
∴要使Φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點,必須且只須

即7<m<15-6ln 3.
所以存在實數(shù)m,使得函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有且只有三個不同的交點,m的取值范圍為(7,15-6ln 3)
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(1)試求a的值;
(2)記函數(shù),x∈(0,e],若F(x)的最小值為6,求實數(shù)b的值;
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