Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點，P為橢圓C上除長軸端點外的任一點，G為△F₁PF₂內一點，滿足3$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，△F₁PF₂的內心為I，且有$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$（其中λ為實數(shù)），則橢圓C的離心率e=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 在焦點△F₁PF₂中，設P（x₀，y₀），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，故內心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率．

解答 解：設P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由3$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，可得G為△F₁PF₂的重心，
即有G點坐標為 G（$\frac{{x}_{0}}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
由$\overrightarrow{IG}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，可得IG∥x軸，
即有I的縱坐標為$\frac{{y}_{0}}{3}$，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
則S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
又I為△F₁PF₂的內心，即有I的縱坐標即為內切圓半徑，
內心I把△F₁PF₂分為三個底分別為△F₁PF₂的三邊，
高為內切圓半徑的小三角形，
S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
即為$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₀|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
即$\frac{1}{2}$×2c•|y₀|=$\frac{1}{2}$（2a+2c）|$\frac{{y}_{0}}{3}$|，
可得2c=a，
橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內心的意義及其應用，橢圓離心率的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．