Question

11．若函數(shù)f（x）=x²（x-2）²-a|x-1|+a有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為{-$\frac{32}{27}$}∪（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出函數(shù)的圖象，然后求解a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²（x-2）²-a|x-1|+a有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為：x²（x-2）²-a|x-1|+a=0由4個(gè)根，
a|x-1|-a=$\left\{\begin{array}{l}{-ax，x≤1}\\{a（x-2），x＞1}\end{array}\right.$，設(shè)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x-2），x≥1}\\{-x（x-2）^{2}，x＜1}\end{array}\right.$，由題意可得兩個(gè)函數(shù)的圖象有橫坐標(biāo)不為：0，2的2個(gè)交點(diǎn)，
在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：由圖象可得：a=$-\frac{32}{27}$，或-1＜a＜0，a＞0時(shí)，滿足題意，
綜上：a∈{-$\frac{32}{27}$}∪（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案為：{-$\frac{32}{27}$}∪（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合，分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．