Question

11．已知ABC中，A（-2，0）、B（0，-2），第三個頂點C在曲線y=3x²-1上移動，O為坐標原點，動點T滿足：$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），則動點T的軌跡方程為$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

Answer 1

分析 設T（x，y），用x，y表示出C點坐標，代入曲線y=3x²-1上即可．

解答 解：設C（x₀，y₀），則$\overrightarrow{OA}$=（-2，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，-2），$\overrightarrow{OC}$=（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{OT}$=$\frac{1}{3}$[（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]=（$\frac{2λ-2}{3}$，0）+（0，$\frac{2λ-2}{3}$）+（$\frac{1+2λ}{3}{x}_{0}$，$\frac{1+2λ}{3}{y}_{0}$）=（$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$），
設T（x，y），則x=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{x}_{0}}{3}$，y=$\frac{2λ-2+（1+2λ）{y}_{0}}{3}$．
∴x₀=$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$，y₀=$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$，
∵C（x₀，y₀）在曲線y=3x²-1上移動，
∴動點T的軌跡方程為：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1，
故答案為：$\frac{3y+2-2λ}{1+2λ}$=3（$\frac{3x+2-2λ}{1+2λ}$）²-1．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，軌跡方程的求解，屬于中檔題．