Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+3-a．
（1）若方程f（x）-x=0有兩個不等的實數(shù)根x₁，x₂，求（1-x₁）（1-x₂）的值；
（2）若存在實數(shù)x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|＞-2a，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）帶入方程f（x）-x=0得到方程x²+（a-5）x+3-a=0，根據(jù)韋達定理即可求出x₁+x₂，x₁x₂，這樣便可得出（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂；
（2）若a≥0時，可以看出是存在實數(shù)x₀∈[0，2]，使|f（x₀）|＞-2a成立的；而若a＜0時，根據(jù)題意，需求|f（x）|在[0，2]上的最大值，讓該最大值大于-2a即可：通過對稱軸容易判斷二次函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而求出f（0）=3-a，f（2）=a-1，從而可判斷出|f（x）|的最大值便是3-a，從而a只需滿足3-a＞-2a，這樣求出a的范圍，再并上前面的a≥0便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由方程f（x）-x=0得：x²+（a-5）x+3-a=0，則該方程的兩個不等實數(shù)根為x₁，x₂；
根據(jù)韋達定理：x₁+x₂=5-a，x₁x₂=3-a；
∴（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=1-（5-a）+3-a=-1；
（2）①若a≥0，顯然一定存在實數(shù)x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|＞-2a；
②若a＜0，f（x）=x²+（a-4）x+3-a的對稱軸為x=$\frac{4-a}{2}＞2$；
∴f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，且f（0）=3-a＞0，f（2）=a-1＜0；
∴|f（2）|=1-a＜3-a；
∴|f（x）|在[0，2]上的最大值為3-a；
∴根據(jù)題意，需3-a＞-2a；
∴a＞-3；
∴-3＜a＜0；
綜上得，a＞-3；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-3，+∞）．

點評 考查韋達定理，二次函數(shù)的對稱軸，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，要清楚如何求|f（x）|的最大值，不要漏了a≥0的情況．