Question

11．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其中前n項(xiàng)和為S_n．等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₃=21，b₃=S₂
（1）求a_n與b_n
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，b₂+S₃=21，b₃=S₂，聯(lián)立解方程組，解得q和d，
（2）分別寫出等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n、T_n，S₁₅=360，4T_n＞S₁₅，解得n≥5．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
$\left\{\begin{array}{l}{_{2}+{S}_{3}=21}\\{_{3}={S}_{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{q+9+3d=21}\\{{q}^{2}=6-d}\end{array}\right.$，解得：q=3或q=-$\frac{10}{3}$（舍去），則d=3．
∴a_n=3n，$_{n}={3}^{n-1}$；
（2）由（1）得：T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$，
S₁₅=$\frac{15×（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=$\frac{15×（3+45）}{2}$=360，
4T_n＞S₁₅恒成立等價(jià)于4×$\frac{{3}^{n}-1}{2}$＞360，即3ⁿ＞181，則n≥5，
∴使得不等式4T_n＞S₁₅成立的最小正整數(shù)n的數(shù)值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．