Question

6．已知f（x）=e${\;}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{4}$，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），判斷g（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若F（x）=ln（x+1）-af（x）+4無零點(diǎn)，試確定正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)后知g（x），對g（x）求導(dǎo)后得到單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求得F（x）的單調(diào)性及最值，然后對a分情況討論，利用F（x）無零點(diǎn)分別求得a的取值范圍，再取并集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e${\;}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{4}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{4}$，
∴g（x）=（x+1）（$\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{1}{4}$），
∴g′（x）=$\frac{1}{4}$[（x+3）${e}^{\frac{x}{2}}$-1]，
當(dāng)x＞-1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由F（x）=ln（x+1）-af（x）+4知，F(xiàn)′（x）=$\frac{a}{x+1}$（$\frac{1}{a}$-g（x）），
由（1）知，g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（-1）=0 可知當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）∈（0，+∞），
則F′（x）=$\frac{a}{x+1}$（$\frac{1}{a}$-g（x））有唯一零點(diǎn)，
設(shè)此零點(diǎn)為x=t，易知x∈（-1，t）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
x∈（t，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（t）＜0．F（x）單調(diào)遞減．
知F（x）_max=F（t）=ln（t+1）-af（t）+4，
其中a=$\frac{1}{g（t）}$，
令G（x）=ln（x+1）-$\frac{f（x）}{g（x）}$+4，
則G′（x）=$\frac{f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$，
易知f（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴G′（x）＞0，G（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且G（0）=0，
①當(dāng)0＜a＜4時(shí)，g（t）=$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{4}$=g（0），
由g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，知t＞0，則F（x）_max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，
由F（x）在（-1，t）上單調(diào)遞增，-1＜e^-4-1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（-1，+∞）上均恒成立，
則F（e^-4-1）=-af（e^-4-1）＜0，
∴F（t）F（e^-4-1）＜0
∴F（x）在（-1，t）上有零點(diǎn)，與條件不符；
②當(dāng)a=4時(shí)，g（t）=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{4}$=g（0），由g（x）的單調(diào)性可知t=0，
則F（x）_max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此時(shí)F（x）有一個(gè)零點(diǎn)，與條件不符；
③當(dāng)a＞4時(shí)，g（t）=$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{4}$=g（0），由g（x）的單調(diào)性知t＜0，
則F（x）_max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此時(shí)F（x）沒有零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)F（x）=ln（x+1）-af（x）+4無零點(diǎn)時(shí)，正數(shù)a的取值范圍是a∈（4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用．