Question

1．已知f_n（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整數(shù)．
（1）解不等式f₂（x）≤2x；
（2）試分別證明：函數(shù)f₃（x）在（0，1）內(nèi)有一個零點，且在（0，1）內(nèi)僅有一個零點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的表達式求出當n=2時，f₂（x）的表達式，即可解不等式f₂（x）≤2x；
（2）根據(jù)函數(shù)零點的判定條件進行證明即可．

解答 解：（1）n=2時，${f_2}（x）={x^2}+x-1$，--（1分）
由f₂（x）≤2x得x²+x-1≤2x，即x²-x-1≤0．-（3分）
得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，--（5分）
故不等式的解集為[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．-（7分）
證明：（2）${f_3}（{\frac{1}{2}}）={（{\frac{1}{2}}）^3}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{8}＜0$．-（2分），
f₃（1）=2＞0．-（3分）
（因f連續(xù)）故f（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上有零點．-（4分）
又f在$（{\frac{1}{2}，1}）$上增，故零點不會超過一個．-（7分）

點評 本題主要考查一元多項式的不等式的求解以及函數(shù)零點的判斷，利用函數(shù)零點的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．