Question

2．設(shè)A、B是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ（λ≠0）上兩點(diǎn)，N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交雙曲線于C、D兩點(diǎn)．（1）確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）試判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為yy=k（x-1）+2，代入x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，整理得：（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2λ=0，然后結(jié)合題設(shè)條件確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）由題設(shè)條件可知λ＞1，直線CD的方程為y=-x+3，代入雙曲線方程，整理得x²+6x-9-2λ=0．將直線AB的方程y=x+1代入雙曲線方程整理得x²-2x-1-2λ=0，由此通過計(jì)算知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{DA}$=0，A在以CD為直徑的圓上．又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，可得A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

解答 解：（1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）+2，
代入x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，整理得：（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2λ=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴△=4k²（2-k）²-4（2-k²）[-（2-k）²-2λ]＞0，②
且x₁+x₂=$\frac{2k（2-k）}{2-{k}^{2}}$．由N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，得x₁+x₂=2，
∴$\frac{2k（2-k）}{2-{k}^{2}}$=2解得k=1，代入②得λ＞1，
即λ的取值范圍是（1，+∞）．
（2）由（1）知λ＞1，
∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y=-x+3，代入雙曲線方程，整理得x²+6x-9-2λ=0．③
將直線AB的方程y=x+1代入雙曲線方程整理得x²-2x-1-2λ=0．④
解③和④式可得x_1，2=-3±$\sqrt{18+2λ}$，x_3，4=1±$\sqrt{2+2λ}$，
不妨設(shè)A（-3+$\sqrt{18+2λ}$，-2±$\sqrt{18+2λ}$），
C（1+$\sqrt{2+2λ}$，2-$\sqrt{2+2λ}$），D（1-$\sqrt{2+2λ}$，4+$\sqrt{2+2λ}$）．
∴可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{DA}$=0，
∴A在以CD為直徑的圓上．
又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．