Question

11．在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1內有一點P（3，1），F為雙曲線的右焦點，在雙曲線上有一點M，使|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的值最小，則這個最小值為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設過M作準線的垂線MN，垂足為N，欲求|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．

解答 解∵雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
可得離心率e=$\frac{3}{2}$，
設過M作準線的垂線MN，垂足為N，則$\frac{|MF|}{|MN|}$=$\frac{3}{2}$，
∴|MN|=$\frac{2}{3}$|MF|，
∴|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|=|MP|+|MN|，
當且僅當M，N，P三點共線時|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的值最小，這個最小值為3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題給出雙曲線上的動點P和定點，求|MP|+$\frac{2}{3}$|MF|的最小值，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．