Question

7．過橢圓x²+3y²=6上一點A（-$\sqrt{3}$，1），任作兩條傾斜角互補的直線，與橢圓相交于B、C兩點．
（1）求證直線BC的斜率為定值；
（2）求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)k＞0，表示出AB的直線方程和AC的直線方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立求得x_C和x_B，進而求得AB的斜率；
（2）設(shè)出直線BC的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得m的范圍，進而表示出三角形ABC的面積，利用m的范圍，結(jié)合基本不等式確定面積的最大值．

解答 解：（1）證明：顯然兩直線的斜率存在，不妨設(shè)直線AB的斜率k＞0，
直線AB的方程為y-1=k（x+$\sqrt{3}$），
聯(lián)立橢圓方程x²+3y²=6，可得
（1+3k²）x²+6k（1+$\sqrt{3}$k）x+3（1+$\sqrt{3}$k）²-6=0，
即有x_B-$\sqrt{3}$=-$\frac{6k（1+\sqrt{3}k）}{1+3{k}^{2}}$，
解得x_B=$\sqrt{3}$-$\frac{6k（1+\sqrt{3}k）}{1+3{k}^{2}}$，
由直線AC的方程為y-1=-k（x+$\sqrt{3}$），
可得x_C=$\sqrt{3}$+$\frac{6k（1-\sqrt{3}k）}{1+3{k}^{2}}$，
則y_B=1+k（x_B+$\sqrt{3}$），y_C=1-k（x_C+$\sqrt{3}$），
k_BC=$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{2\sqrt{3}k+k（{x}_{B}+{x}_{C}）}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴k_BC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（定值）．
（2）設(shè)直線BC的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，
與x²+3y²=6聯(lián)立，消去y得2x²-2$\sqrt{3}$mx+（3m²-6）=0，
由△＞0得-2＜m＜2，且m≠0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\sqrt{3}$m，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{2}$，
|BC|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3{m}^{2}-2（3{m}^{2}-6）}$
=2$\sqrt{4-{m}^{2}}$，
點A（-$\sqrt{3}$，1）到BC的距離d=$\frac{|1+m-1|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}|m|}{2}$．
設(shè)△ABC的面積為S．
則S²=$\frac{1}{4}$|BC|²d²=$\frac{3}{4}$m²（4-m²）≤$\frac{3}{4}$•（$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$）²=3．
當(dāng)m=±$\sqrt{2}$時，得S_max=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查直線方程和斜率公式的運用，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．