Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，2），其焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁=4，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，2），其焦點(diǎn)為F₂（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），求出a，b，c，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁=4，求出PF₂，|F₁F₂|，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答 解：（1）∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，2），其焦點(diǎn)為F₂（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，∴$a=\sqrt{4+5}$=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）∵點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁=4，
∴PF₂=2×3-4=2，
∵F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
∴|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴$P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$．
∴PF₁⊥PF₂，
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}×P{F}_{1}×P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×4×2$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．