Question

11．若函數(shù)f（x）=x³-3x在（a，6-a²）上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\sqrt{7}$，-1）
• B． （-$\sqrt{7}$，-1]
• C． （-$\sqrt{7}$，-2）
• D． （-$\sqrt{7}$，-2]

Answer 1

分析 因?yàn)榻o的是開(kāi)區(qū)間，最大值一定是在該極大值點(diǎn)處取得，因此對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)、求極大值點(diǎn)，求出函數(shù)極大值時(shí)的x值，然后讓極大值點(diǎn)落在區(qū)間（a，6-a²）內(nèi)，依此構(gòu)造不等式．即可求解實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：由題意f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，故x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，f（-1）=-1+3=2，x³-3x=2，解得x=2，
所以由題意應(yīng)有：$\left\{\begin{array}{l}{a＜6-{a}^{2}}\\{a＜-1}\\{6-{a}^{2}＞-1}\\{6-{a}^{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得-$\sqrt{7}$＜a≤-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題，一定要辨析清楚是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間，從而確定最值點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系；本題另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)為易忽視定義域中a＜6-a²的條件．