Question

20．在平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點的坐標為A（-1，2），B（1，4），C（3，2）．
（1）求△ABC外接圓E的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點（0，4），且與圓E相交所得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）在圓E上是否存在點P，滿足PB²-2PA²=12，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求△ABC外接圓E的方程；
（2）分類討論，利用韋達定理，結(jié)合弦長公式，求直線l的方程；
（3）求出P的軌跡方程，與圓E聯(lián)立，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{1+4-E+2E+F+0}\\{1+16+D+4E+F=0}\\{9+4+3D+2E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-2，E=-4，F(xiàn)=1，
∴△ABC外接圓E的方程為x²+y²-2x-4y+1=0．
（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
弦長為2$\sqrt{3}$，滿足題意．
當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y-4=kx，即t=kx+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x-（2k-2）x-2=0，
△=[-（2k-2）]²+8（1+k²）=12k²+8k+12＞0，
設(shè)直線l與圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k-2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{1+{k}^{2}}$，
∵弦長為2$\sqrt{3}$，∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{2k-2}{1+{k}^{2}}）^{2}+4×\frac{2}{1+{k}^{2}}]}$=2$\sqrt{3}$，
解得k=1，∴直線l的方程為x-y+4=0．
∴直線l的方程為x=0，或x-y+4=0．
（3）設(shè)P（x，y），
∵PB²-2PA²=12，A（-1，2），B（1，4），
∴（x-1）²+（y-4）²-2（x+1）²-2（y-2）²=12，
即x²+y²+6x+16y+5=0．
與x²+y²-2x-4y+1=0相減可得2x+5y+1=0，
與x²+y²-2x-4y+1=0聯(lián)立可得29y²+14y+9=0，方程無解，
∴圓E上不存在點P，滿足PB²-2PA²=12．

點評 本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．