Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，可得-（n-8）+2t=0，$\sqrt{（n-8）^{2}+{t}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），由向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，常數(shù)k＞0，可得t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=-2ksin²θ+16sinθ=-2k$（sinθ-\frac{4}{k}）^{2}$+$\frac{32}{k}$．對k分類討論，利用三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，∴-（n-8）+2t=0，$\sqrt{（n-8）^{2}+{t}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
解得t=±8，t=8時，n=24；t=-8時，n=-8．
∴向量$\overrightarrow{OB}$=（24，8），（-8，-8）．（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），
（2）∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$共線，常數(shù)k＞0，∴t=-2ksinθ+16，
∴f（θ）=tsinθ=-2ksin²θ+16sinθ=-2k$（sinθ-\frac{4}{k}）^{2}$+$\frac{32}{k}$．
①k＞4時，$0＜\frac{4}{k}＜1$，∴sinθ=$\frac{4}{k}$時，f（θ）=tsinθ取得最大值$\frac{32}{k}$，
sinθ=-1時，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，此時函數(shù)f（θ）的值域為$[-2k-16，\frac{32}{k}]$．
②4＞k＞0時，$\frac{4}{k}$＞1．∴sinθ=1時，f（θ）=tsinθ取得最大值-2k+16，
sinθ=-1時，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，
此時函數(shù)f（θ）的值域為[-2k-16，-2k+16]．

點評 本題考查了向量共線定理、模的計算公式、三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．