Question

6．如圖，ABCD是平行四邊形，已知AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，求平面ADE與平面BCE所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BD⊥BC，EF⊥BC，從而EF⊥平面ABCD，進(jìn)而EF⊥BD，由此得到BD⊥平面BCE，從而BD⊥CE．
（Ⅱ）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BD所在直線分別為x，y軸，以過點(diǎn)B且與FE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ADE與平面BCE所成二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四邊形，且CD=AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，
∴CD²=BD²+BC²，∴∠CBD=90°，即BD⊥BC，
取BC的中點(diǎn)F，連接EF，∵BE=CE，∴EF⊥BC，…（2分）
又∵平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴EF⊥BD，
∵EF∩BC=F，EF，BC?平面BCE，∴BD⊥平面BCE，
∵EC?平面BCE，∴BD⊥CE．…（6分）
解：（Ⅱ）∵BE=CE=$\sqrt{10}$，由（Ⅰ）得EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{10-1}=3$．
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BD所在直線分別為x，y軸，以過點(diǎn)B且與FE平行的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則A（2，-2$\sqrt{3}$，0），D（0，-2$\sqrt{3}$，0），E（-1，0，3），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-3，2$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{DE}$=（-1，2$\sqrt{3}$，3），…（8分）
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AE}=-3x+2\sqrt{3}y+3z=0}\\{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{DE}=-x+2\sqrt{3}y+3z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{a}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
由（Ⅰ）知BD⊥平面BCE，∴設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow$=（0，1，0），…（11分）
設(shè)平面ADE與平面BCE所成二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
即平面ADE與平面BCE所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．