Question

6．如圖，ABCD是平行四邊形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，BD=PD=2EA=4，AD=3，AB=5．F，G，H分別為PB，EB，PC的中點．
（1）求證：DB⊥GH；
（2）求平面FGH與平面EBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可．
（2）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角進行求解即可．

解答 （1）證明：如圖∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BD，
∵BD=4，AD=3，AB=5，∴AD⊥BD，
∵AD∩AE=A，
∴BD⊥平面ADPE，BE⊥PE
∵F，G分別為PB，EB的中點
∴PE∥GF
∴BD⊥GF，同理BD⊥FH，
而GF∩FH=F，
∴BD⊥面GFH，
∴BD⊥GH，
（2）如圖，設(shè)PD的中點為Q，連結(jié)BQ，EQ，CQ．
易知EQ∥BC，且EQ=BC，則E，Q，B，C四點共面，
∵F，H分別為PB，EB，PC的中點
∴FH∥AD，F(xiàn)H∥平面PEAD，同理FG∥面PEAD，
 又FG∩FH=F，∴面PEAD∥面FGH，
二面角D-EQ-B，即為平面FGH與平面EBC所成的銳二面角
∵AD⊥BD，AD⊥PD，AD∥EQ，
∴EQ⊥面PDB，
∴EQ⊥QD，且EQ⊥BQ，
∴∠DQB就是平面FGH與平面EBC所成銳二面角的一個平面角 
    則cos∠DQB=$\frac{DQ}{BQ}=\frac{2}{\sqrt{4+16}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

點評 本題主要考查直線垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．