Question

11．已知圓C₁：x²+y²+6x-4=0，圓C₂：x²+y²+6y-28=0．
（1）求過這兩個(gè)圓交點(diǎn)的直線方程；
（2）求過這兩個(gè)圓交點(diǎn)并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）兩圓相減，得到過這兩個(gè)圓交點(diǎn)的直線方程．
（2）兩圓聯(lián)立方程組，求出兩點(diǎn)的交點(diǎn)A，B，從而得到AB的中垂線方程，進(jìn)而能求出圓心C的坐標(biāo)和圓半徑，由此能求出所求圓的方程．

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²+6x-4=0，圓C₂：x²+y²+6y-28=0，
∴兩圓相減，得到過這兩個(gè)圓交點(diǎn)的直線方程為：
6x-6y+24=0，即x-y+4=0．
（2）兩圓交點(diǎn)為A，B，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{{x}^{2}+{y}^{2}+6x-4=0}_{\;}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+6y-28=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（-1，3），B（-6，-2），
∴AB的中垂線方程為x+y+3=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{7}{2}$，
所求圓心C的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
圓半徑|CA|=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（-\frac{7}{2}-3）^{2}}$=$\sqrt{\frac{89}{2}}$，
∴所求圓的方程為（x-$\frac{1}{2}$）2+（y+$\frac{7}{2}$）2=$\frac{89}{2}$，即x²+y²-x+7y-32=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查過兩個(gè)圓的交點(diǎn)的直線方程的求法，考查滿足條件的圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．