Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）設(shè)PC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，證明：EF∥平面PDA；
（2）若PD=AD，求三棱錐P-BCD的外接球的半徑長．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明EF∥PA，即可；
（2）確定E是三棱錐P-BCD的外接球的球心，即可求三棱錐P-BCD的外接球的半徑長．

解答 （1）證明：連結(jié)AC，在底面ABCD中，F(xiàn)為BD中點，∴F為AC中點
又E是PC中點，在△CPA中，EF∥PA．
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）解：∵底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴DB⊥BC，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PB⊥BC，PD⊥DC，
∵E是PC的中點，
∴E是三棱錐P-BCD的外接球的球心，
∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD=AD，
∴PD=1，DC=2，PC=$\sqrt{5}$，
∴三棱錐P-BCD的外接球的半徑長$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及空間二面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理．