Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其焦距為2c，若橢圓中的a，b，c成等比數(shù)列，我們稱這樣的橢圓為“黃金橢圓”．
（1）求黃金橢圓的離心率；
（2）已知黃金橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的所有焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），以A（-a，0），B（a，0），D（0，-b），E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓記為⊙M，試判斷F₁、F₂與M的位置關(guān)系；
（3）若黃金橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（c，0），P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)F₂、P的直線l，使得l與y軸的交點(diǎn)r滿足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓中的a，b，c成等比數(shù)列，可得b²=ac，又b²=a²-c²，及其$e=\frac{c}{a}$，解出即可；
（2）直線BE：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，原點(diǎn)到此直線的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，d²-c²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-c²=0，即可判斷出位置關(guān)系．
（3）假設(shè)存在過點(diǎn)F₂、P的直線l，使得l與y軸的交點(diǎn)R滿足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．設(shè)P（x₀，y₀），直線l的斜率為k，方程為y=k（x-c），可得R（0，-kc）．可得x₀=$\frac{3c}{2}$，y₀=$\frac{kc}{2}$．代入橢圓方程可得：$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4^{2}}$=1，化簡整理并利用e²+e-1=0即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓中的a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，又b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
化為e²+e-1=0，∵0＜e＜1，解得$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
（2）直線BE：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，原點(diǎn)到此直線的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，∴d²-c²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-c²
=$\frac{{-a}^{3}c（{e}^{2}+e-1）}{{a}^{2}+^{2}}$=0，∴d=c．
∴F₁、F₂在⊙M上．
（3）假設(shè)存在過點(diǎn)F₂、P的直線l，使得l與y軸的交點(diǎn)R滿足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．
設(shè)P（x₀，y₀），直線l的斜率為k，方程為y=k（x-c），可得R（0，-kc）．
∴$\overrightarrow{RP}$=（x₀，y₀+kc），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x₀，-y₀），∴（x₀，y₀+kc）=-3（c-x₀，-y₀），
∴x₀=-3（c-x₀），y₀+kc=-3（-y₀），
解得x₀=$\frac{3c}{2}$，y₀=$\frac{kc}{2}$．
代入橢圓方程可得：$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
解得k²=$\frac{4{a}^{2}^{2}-9{c}^{2}^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$=$\frac{ac（4{a}^{2}-9{c}^{2}）}{{a}^{2}{c}^{2}}$=$\frac{4-9{e}^{2}}{e}$=$\frac{4-9（1-e）}{e}$=9-$\frac{5}{e}$=$9-\frac{5×2}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{26-10\sqrt{5}}{4}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{26-10\sqrt{5}}}{2}$．
因此存在直線l滿足條件，其斜率k=±$\frac{\sqrt{26-10\sqrt{5}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了“黃金橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、菱形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)及其相等、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．