Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為120°，且$\overrightarrow{m}$=$\frac{2\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，$\overrightarrow{n}$=-$\frac{3\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{2\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，求$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$cos120°=-$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$．
∵$|\overrightarrow{m}|$=$\sqrt{\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}+\frac{{\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}+2×\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}}$=$\sqrt{4+1+4×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
同理可得$|\overrightarrow{n}|$=4．
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$-\frac{6{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$+$\frac{2{\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}$+$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-6+2-$\frac{1}{2}$=-$\frac{9}{2}$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{9}{2}}{4×\sqrt{3}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．