Question

若{a_n}是公差d≠0等差數(shù)列，{b_n}是公比q≠1等比數(shù)列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）是否存在常數(shù)a，b使得對(duì)一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在．求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，可得

1+d=q 1+5d=q2

解之即可，再結(jié)合a₁=b₁=1，即可求得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知a_n=3n-2，b_n=4^n-1，利用裂項(xiàng)法可求得

1

an•an+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），從而可求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）假設(shè)存在常數(shù)a，b滿(mǎn)足題意，把a(bǔ)_n=3n-2，b_n=4^n-1代入a_n=log_ab_n+b，計(jì)算即可獲得答案．

解答： 解：（1）依題得

1+d=q 1+5d=q2

⇒

d=3 q=4

，
∴a_n=3n-2，b_n=4^n-1；
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴S_n=

1

3

[（

1

1

-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

n

3n+1

；
（3）假設(shè)存在常數(shù)a，b滿(mǎn)足題意，把a(bǔ)_n=3n-2，b_n=4^n-1代入a_n=log_ab_n+b，
得：3n-2=loga4n-1+b，
即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0對(duì)一切n∈N^*都成立，
∴

3-loga4=0 loga4-b-2=0

，
解得：

a= 3 4 b=1

．
即存在常數(shù)a=

3	4

，b=1滿(mǎn)足題設(shè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和的考查，滲透方程思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．