Question

己知拋物線x²=4y，過定點M₀（0，m）（m＞0）的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）分別過A，B作拋物線的兩條切線，A，B為切點，求證：這兩條切線的交點P（x₀，y₀）在定直線y=-m上；
（2）當m＞2時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關(guān)于直線l對稱，弦長|PQ|是否存在最大值？若存在，求其最大值（用m表示），若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出過點A、B的切線方程，利用直線PA、PB過P（x₀，y₀），可得點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線xx₀=2（y₀+y）上，利用直線AB過定點M₀（0，m），即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，則直線PQ的方程為：y=-

1

k

x+n，代入拋物線方程可得x²+

4

k

x-4n=0，利用韋達定理，結(jié)合弦長公式，分類討論，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由x²=4y，得y′=

1

2

x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
過點A的切線方程為：y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），即x₁x=2（y+y₁）
同理求得過點B的切線方程為：x₂x=2（y+y₂）
∵直線PA、PB過P（x₀，y₀），∴x₁x₀=2（y₀+y₁），x₂x₀=2（y₀+y₂）
∴點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線xx₀=2（y₀+y）上，
∵直線AB過定點M₀（0，m），
∴0=2（y₀+m），即y₀=-m，
∴兩條切線PA、PB的交點P（x₀，y₀）在定直線y=-m上．
（2）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，
則直線PQ的方程為：y=-

1

k

x+n，代入拋物線方程可得x²+

4

k

x-4n=0，
∴x₃+x₄=-

4

k

，x₃x₄=-4n，△=(

4

k

)2+16n＞0             ①
設(shè)弦PQ的中點G（x₅，y₅），則x₅=-

2

k

，y₅=

2

k2

+n
∵弦PQ的中點G（x₅，y₅）在直線l上，∴

2

k2

+n=k•（-

2

k

）+m，
即n=m-2-

2

k2

     ②
②代入①中，得

1

k2

＜m-2       ③
∴|PQ|=

1+(- 1 k )2

|x₃-x₄|=

1+(- 1 k )2

•

(- 4 k )2+16n

=4

-( 1 k2 - m-3 2 )2+( m-1 2 )2

由已知m＞2，當

m-2＞0 m-3＜0

，即2＜m＜3時，弦長|PQ|中不存在最大值．
當m＞3時，這時m-2＞

m-3

2

，此時，弦長|PQ|中存在最大值m-1．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，有難度．