Question

9．已知拋物線的頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個焦點，拋物線與雙曲線交點為$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，求拋物線方程和雙曲線方程．

Answer 1

分析 首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過交點$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，求出c、p的值，進而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a²+b²=c²，求解即可．

解答 解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，∴p=2c．
設(shè)拋物線方程為y²=4cx，
∵拋物線過點$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，6=4c•$\frac{3}{2}$．
∴c=1，故拋物線方程為y²=4x．
又雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$過$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，
∴$\frac{9}{4{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}$=1．又a²+b²=c²=1，∴a²=$\frac{1}{4}$或a²=9（舍）．
∴b²=$\frac{3}{4}$，
故雙曲線方程為：4x²-$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數(shù)法，熟練掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧．