Question

13．在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點（-1，0），（1，0）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為曲線G，直線m：x=1與曲線G交于點M（點M在第一象限）．
（1）求曲線G的方程；
（2）已知A為曲線G的左頂點，平行于AM的直線l與曲線G相交于B，C兩點．判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對稱，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義可知，點P的軌跡G是以（-1，0），（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓． 可求得曲線G的方程．
（2）由題意可設(shè)直線l：$y=\frac{1}{2}x+n$，n≠1．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+n}\end{array}\right.$得x²+nx+n²-3=0．利用k_MB+K_MC=0證的結(jié)論

解答 解：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡G是以（-1，0），（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓． 故曲線G的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$． …（4分）
（2）由題意可得點A（-2，0）M（1，$\frac{3}{2}$），…（6分）
所以由題意可設(shè)直線l：$y=\frac{1}{2}x+n$，n≠1．…（7分）
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+n}\end{array}\right.$得x²+nx+n²-3=0．
  由題意可得△=n²-4（n²-3）=12-3n²＞0，即n∈（-2，2）且n≠1．…（8分）
x₁+x₂=-n，x₁x₂=n²-3．…（9分）
因為  ${k}_{MB}+{k}_{MC}=\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$   …（10分）
=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}+\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+n-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$1+\frac{n-1}{{x}_{1}-1}+\frac{n-1}{{x}_{2}-1}$=1$+\frac{（n-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=1-$\frac{（n-1）（n+2）}{{n}^{2}+n-2}=0$，…（13分）
所以直線MB，MC關(guān)于直線m對稱．…（14分）

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用題，屬高考�？碱}型，中檔題．