Question

5．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=$\sqrt{2}$，∠ABD=90°，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，折后的點(diǎn)A變?yōu)锳₁，且A₁C=2．
（1）求證：平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）求異面直線BC與A₁D所成角的余弦值；
（3）E為線段A₁C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段EC的長(zhǎng)為多少時(shí)，DE與平面BCD所成的角正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$？

Answer 1

分析 （1）對(duì)比折疊前后即可得到${A}_{1}B=1，BC=\sqrt{3}$，并且A₁C=2，從而得到A₁B⊥BC，并且A₁B⊥BD，從而得到A₁B⊥平面BCD，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）在平面BCD內(nèi)，過(guò)B作BD的垂線，從而可以BD的垂線，BD，BA₁三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$的坐標(biāo)，從而求出cos$＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{{A}_{1}D}＞$，從而得出異面直線BC與A₁D所成角的余弦值；
（3）根據(jù)折疊后圖形各邊的長(zhǎng)度設(shè)E（x，$\sqrt{2}x，1-x$），從而寫出$\overrightarrow{DE}$的坐標(biāo)，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$為平面BCD的一條法向量，并且DE與平面BCD所成的角正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$，從而根據(jù)$|cos＜\overrightarrow{B{A}_{1}}，\overrightarrow{DE}＞|=\frac{\sqrt{7}}{7}$即可求出x，從而求出EC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件，在△A₁BC中，BC=$\sqrt{3}$，A₁B=1，A₁C=2；
∴${A}_{1}{B}^{2}+B{C}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$；
∴A₁B⊥BC；
又A₁B⊥BD，BD∩BC=B；
∴A₁B⊥平面BCD，A₁B?平面A₁BD；
∴平面A₁BD⊥平面BCD；
（2）以BD的垂線，BD，BA₁三直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
B（0，0，0），C（1，$\sqrt{2}$，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{BC}=（1，\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（0，\sqrt{2}，-1）$；
∴$cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{{A}_{1}D}＞=\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$；
∴異面直線BC與A₁D所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$；
（3）$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（0，0，1）$為平面BCD的一條法向量，E在線段A₁C上；
∴設(shè)E（x，$\sqrt{2}$x，1-x），x∈[0，1]；
∴$\overrightarrow{DE}=（x，\sqrt{2}（x-1），1-x）$；
∵DE與平面BCD所成的角正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴$|cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{B{A}_{1}}＞|=\frac{1-x}{\sqrt{{x}^{2}+3（x-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
解得x=$\frac{2}{3}$，或2（舍去）；
∴$EC=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
即當(dāng)線段EC=$\frac{\sqrt{7}}{3}$時(shí)，DE與平面BCD所成的角正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，弄清折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，線面垂直、面面垂直的判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角，以及解決線面角問(wèn)題的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，線面角和平面法向量和直線方向向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．