Question

18．在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AA₁=AB=AD=1，∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，則直線AC₁與平面ABCD所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知條件A₁在底面ABCD上的射影在AC上，設(shè)為E，C₁在底面ABCD上的射影在AC延長線上，設(shè)為F，并過E作EG⊥AB，連接A₁G，便有A₁G⊥AB，從而根據(jù)已知的邊角值，分別在直角三角形中即可求出AE，A₁E，連接BD與AC交于O，從而有BD⊥AC，從而可求出AO，從而求出AF，AC₁，這樣即可在Rt△AC₁F中求出cos$∠{C}_{1}AF=\frac{AF}{A{C}_{1}}$，這樣即求出了直線AC₁和平面ABCD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，根據(jù)條件知，A₁點在底面ABCD上的射影在∠BAD平分線即AC上，設(shè)該射影為E，同樣設(shè)C₁在底面ABCD上的射影為F，F(xiàn)在AC延長線上；
過E作EG⊥AB，垂足為G，并連接A₁G；
則A₁G⊥AB，A₁G=1•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AG=1$•cos60°=\frac{1}{2}$；
又在Rt△AEG中，∠EAG=30°；
∴$GE=AG•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{6}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴在Rt△A₁GE中，${A}_{1}E=\sqrt{{A}_{1}{G}^{2}-G{E}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴${C}_{1}F=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$CF=AE=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
連接BD交AC于O，則BD⊥AC，∴$AO=1•cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$AC=\sqrt{3}$，AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴在Rt△AC₁F中，$A{C}_{1}=\sqrt{A{F}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}=\sqrt{6}$；
由前面知∠C₁AF是直線AC₁與平面ABCD所成的角；
∴cos∠C₁AF=$\frac{AF}{A{C}_{1}}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：B．

點評 考查平行六面體的概念，如本題滿足∠A₁AD=∠A₁AB時，過A₁作底面的垂線，知道垂足在∠BAD的平分線上，直角三角形邊角的關(guān)系，知道垂直于同一平面的兩直線平行，線面角的概念及求法．