Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)的和，且9S₃=S₆，則數(shù)列{

1

an

}的前5項(xiàng)的和為（　�。�

• A、

  15

  8

  或5
• B、

  31

  16

• C、

  31

  16

  或5
• D、

  15

  8

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對(duì)公比q進(jìn)行分類討論，列出關(guān)于q的方程求出q，代入通項(xiàng)公式求出a_n，再求出

1

an

，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{

1

an

}的前5項(xiàng)的和．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，且首項(xiàng)為1，
若q=1時(shí)，9S₃=9、S₆=6，則不滿足9S₃=S₆，所以q=1不成立；
若q≠1，由9S₃=S₆得，9×

1-q3

1-q

=

1-q6

1-q

，
化簡(jiǎn)得，q⁶-9q³+8=0，解得q³=8或q³=1，
所以q=2或q=1（舍去），
則a_n=2^n-1，所以

1

an

=

1

2n-1

，
則數(shù)列{

1

an

}的前5項(xiàng)的和S=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

=

1- 1 25

1- 1 2

=2（1-

1

25

）=

31

16

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及分類討論思想．