Question

7．已知f（x）的定義域為R，且滿足2f（x）+f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x
（1）求f（x）及f（x）的單調區(qū)間；
（2）設b＞a＞0，且A（a，f（a）），B（b，f（b））�。╝＜b）兩點連線的斜率為k，問是否存在常數(shù)c∈（a，b），有f′（x）=k，若存在求出常數(shù)c，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=-x代入函數(shù)的表達式得到方程組解出f（x）得到其表達式，通過求導得到函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）根據(jù)k=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{1}{3}$（b²+ab+a²）-1，得到c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$，通過不等式的放縮，得到答案．

解答 解：（1）∵2f（x）+f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x
∴$\left\{\begin{array}{l}{2f（x）+f（-x）={\frac{1}{3}x}^{3}-x}\\{2f（-x）+f（x）=-{\frac{1}{3}x}^{3}+x}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，解得：x=±1，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-1，1）；

（2）k=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{1}{3}$（b²+ab+a²）-1，
f′（x）=x²-1=k，x=±$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$
取c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$
又b＞a＞0，∴c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$＜$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}{+b}^{2}{+b}^{2}）}$=b，

∴c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$＞$\sqrt{\frac{1}{3}{（a}^{2}{+a}^{2}{+a}^{2}）}$=a

故存在常數(shù)c=$\sqrt{\frac{1}{3}{（b}^{2}+ab+{a}^{2}）}$．

點評 本題考查了求函數(shù)的表達式、單調性問題，考查了導數(shù)的應用，考查直線的斜率問題，不等式問題，是一道中檔題．