Question

3．邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、F分別為CD、AD中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)M．現(xiàn)三角形ABF合BF翻折、四邊形DFME沿ME翻折，則在任意翻折中，A、D兩點(diǎn)距離最小值為$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立坐標(biāo)系，垂直于平面ABCD的直線為z軸，求出A，D的坐標(biāo)，利用距離公式，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由△ABF≌△DAE，可得AE⊥BF，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立坐標(biāo)系，垂直于平面ABCD的直線為z軸，則
由等面積可得AM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以可設(shè)A（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosα，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinα），
同理可得D（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosβ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinβ），
∴AD²=（0-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosβ）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosα-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinα-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinβ）²=$\frac{4}{5}$[（cosβ）²+（cosα-1）²+（sinα-sinβ）²]
=$\frac{4}{5}$（3-2cosα-2sinαsinβ）≥$\frac{4}{5}$（3-2cosα-2sinα）≥$\frac{4}{5}$（3-2$\sqrt{2}$），
∴AD≥$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}$，
∴A、D兩點(diǎn)距離最小值為$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圖形的翻折問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確建立坐標(biāo)系，求出A，D的坐標(biāo)是關(guān)鍵．