Question

【題目】已知橢圓C1： + =1，圓C2：x2+y2=t經(jīng)過(guò)橢圓C1的焦點(diǎn)．
（1）設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C2的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，求△POQ面積的取值范圍，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C1 ， C2自上而下依次交于點(diǎn)A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓C1： + =1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（± ，0），則t=2，

設(shè)P（x，y），則丨PO丨= = = ，

由x2∈[0，6]，則丨PO丨∈[2， ]，

則△POQ面積S，S= × × ∈[1， ]，

△POQ面積的取值范圍[1， ]

（2）

解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=my﹣1；

聯(lián)立 ，消去x，整理得（2m2+3）y2﹣4my﹣10=0，

設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則y1+y2=

聯(lián)立 ，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0，

設(shè)B（x3，y3），D（x3，y4），則y3+y4=

又丨AB丨=丨CD丨，則 = ，即y3﹣y1=y2﹣y4，

從而y1+y2=y3+y4，即 = ，解得m=0，

∴直線(xiàn)l的方程為x=﹣1．

【解析】（1）由題意的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得t的值，則丨PO丨∈[2， ]，利用三角形的面積公式，即可求得△POQ面積的取值范圍；（2）將直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程及圓的方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得直線(xiàn)直線(xiàn)l的方程．