【題目】設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù).若對任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,則稱數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,

=anan+4

∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列

設偶數(shù)項組成的等比數(shù)列的公比為q,

∵a2=8,a8=1,∴ ,∴q=

∴a2n=8× =24n;


(2)解:由題設知,當n≥8時,an6,an3,an,an+3,an+6成等比數(shù)列;an6,an2,an+2,an+6也成等比數(shù)列.

從而當n≥8時,an2=an3an+3=an6an+6,(*)且an6an+6=an2an+2

所以當n≥8時,an2=an2an+2,即

于是當n≥9時,an3,an1,an+1,an+3成等比數(shù)列,從而an3an+3=an1an+1,故由(*)式知an2=an1an+1,

當n≥9時,設 ,當2≤m≤9時,m+6≥8,從而由(*)式知am+62=amam+12,

故am+72=am+1am+13,從而 ,

于是

因此 對任意n≥2都成立.

因為 ,所以 ,

于是

故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.


【解析】(1)利用數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列,根據(jù)a2=8,a8=1,求出數(shù)列的公比,即可得到通項;(2)由題設知,當n≥8時,an6 , an3 , an , an+3 , an+6成等比數(shù)列;an6 , an2 , an+2 , an+6也成等比數(shù)列,可得 ,進而可得 , 對任意n≥2都成立,由此可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.

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