Question

8．在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，則稱{a_n}為“D-數(shù)列”．
（1）舉出一個前五項均不為零的“D-數(shù)列”（只要求依次寫出該數(shù)列的前五項）；
（2）若“D-數(shù)列”{a_n}中，a₁=3，a₂=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，寫出數(shù)列{a_n}的通項公式，并分別判斷當(dāng)n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值（若不存在不需要交代理由）；
（3）證明：設(shè)“D-數(shù)列”{a_n}中的最大項為M，證明：a₁=M或a₂=M．

Answer 1

分析 （1）由新定義，比如如10，9，1，8，7，1；
（2）{a_n}的極限不存在，{b_n}的極限存在．運用分段形式寫出a_n與b_n的通項公式，即可得到結(jié)論；
（3）運用反證法證明．假設(shè)a₁≠M且a₂≠M，設(shè)a₁=k，a₂=l，討論k，l的關(guān)系．運用推理論證得到矛盾，即可證明．

解答 解：（1）如10，9，1，8，7等等．
（2）{a_n}的極限不存在，{b_n}的極限存在．
事實上，因為|3-0|=3，|0-3|=3，|3-3|=0，
當(dāng)n∈N^*時，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=3k-2}\\{0，n=3k-1}\\{3，n=3k}\end{array}\right.$，k∈N^*時，
因此當(dāng)n∈N^*時，b_n=6．
所以$\underset{lim}{n→∞}$b_n=6．
（3）證明：假設(shè)a₁≠M且a₂≠M，
設(shè)a₁=k，a₂=l，若k=l，
由a_n=|a_n-1-a_n-2|，可得{a_n}中的最大項為k，（k≠m），
這與{a_n}中的最大項為M矛盾；
若k≠l，可設(shè)k＞l，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，
可得前幾項為k，l，k-l，k-2l（或2l-k），…，
由k-2l＜k，2l-k＜k，可得k-3l＜k，3l-2k＜k，…，
則{a_n}中的最大項為k，（k≠m），
這與{a_n}中的最大項為M矛盾．
綜上可得假設(shè)不成立．則a₁=M或a₂=M．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)列極限的求法和不等式的證明方法：反證法，考查運算和推理能力，屬于中檔題．