Question

3．已知a，b，c均為正數(shù)，且a+2b+3c=9．求證：$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由a，b，c均為正數(shù)，運用柯西不等式可得（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）²，
化簡整理，結(jié)合條件即可得證．

解答 證明：由a，b，c均為正數(shù)，運用柯西不等式可得：
（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）²
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）²=1，
由a+2b+3c=9，可得$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$，
當且僅當a=3b=9c，即a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{1}{2}$時，等號成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用柯西不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．