Question

10．已知函數(shù)$f（x）={2^{a{x^2}-bx+1}}$，若a是從區(qū)間（0，2）任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間（0，2）任取的一個數(shù)，則此函數(shù)在[1，+∞）遞增的概率（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 a、b是從區(qū)間[0，2]上任取的數(shù)，故有無窮多種取法，在平面坐標系內(nèi)作出a、b對應的區(qū)域為一正方形．函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）=ax²-bx+1在[1，+∞）上遞增，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得到a和b的關系，作出在平面坐標系內(nèi)對應的區(qū)域，由幾何概型面積之比求概率即可．

解答 解：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增，g（x）=ax²-bx+1在[1，+∞）上遞增．
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知-$\frac{-b}{2a}$≤1，即2a≥b．
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\\{2a≥b}\end{array}\right.$，畫出圖示得陰影部分面積．
∴此函數(shù)在[1，+∞）遞增的概率為P=$\frac{2×2-\frac{1}{2}×2×1}{2×2}$=$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查幾何概型的求法、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合思想解題．