Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（2a+1）x²-2（a+1）x．
（1）若f（x）在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用（x）在x=1處取得極大值，可得-2a-2＞1，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）_max≤0．分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（2a+1）x²-2（a+1）x，
∴f′（x）=x²+（2a+1）x-2（a+1）=（x-1）（x+2a+2），
∵f（x）在x=1處取得極大值，
∴-2a-2＞1，
∴a＜-$\frac{3}{2}$；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）_max≤0．
①-2a-2≤1，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{3}$，不符合題意；
②-2a-2＞2，即a＜-2，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（1）=-a-$\frac{7}{6}$≤0，∴a≥-$\frac{7}{6}$，無解；
③1＜-2a-2≤2，即-2≤a≤-$\frac{3}{2}$，函數(shù)在[1，-2a-2]上單調(diào)遞減，在[-2a-2，2]上單調(diào)遞增，f（2）=$\frac{2}{3}$＞0，x∈[1，2]，使f（x）_max≤0，不成立．
綜上所述，不存在a，對于存在x∈[1，2]，使f（x）≤0成立．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．