Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d為常數(shù)），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取極小值，則（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25）．

Answer 1

分析 據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）在x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取極小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{3+2b+c＜0}\\{12+4b+c＞0}\end{array}\right.$作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的幾何意義表示點(diǎn)G（-$\frac{1}{2}$，3）與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線的距離的平方，
點(diǎn)G（-$\frac{1}{2}$，3）到直線3+2b+c=0的距離為d=$\frac{丨-\frac{1}{2}×2+3+3丨}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$此時(shí)（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²最小為5，
由$\left\{\begin{array}{l}{12+4b+c=0}\\{3+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{9}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{9}{2}$，6），
此時(shí)AG的距離最大為AG=5，此時(shí)（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²最大為25，
∴（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25），
故答案為：（5，25）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義將條件轉(zhuǎn)化為不等式組，線性規(guī)劃的知識(shí)及兩點(diǎn)間的距離公式，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，屬于難題．