【題目】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若對任意實數(shù)x,不等式f(4x﹣k2x)+f(22x+1﹣k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)a=2,b=1(2)(﹣∞,0]
【解析】
(1)根據(jù)奇函數(shù)的必要條件,利用,求出值,再用奇函數(shù)的定義證明;
(2)恒成立,由已知轉(zhuǎn)化為
恒成立,利用在單調(diào)遞減,原不等式轉(zhuǎn)為恒成立,換元令,轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè),只需求出,即可求出結(jié)論.
定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù),
由.f(0)=0,可得b=1.
由f(﹣1)=﹣f(1),即,
解得a=2.∴f(x),
.
故得實數(shù)a=2,b=1.
(2)由,
∵y=2x+1在上單調(diào)遞增且,∴f(x)在上單調(diào)遞減;
那么不等式f(4x﹣k2x)<﹣f(22x+1﹣k)恒成立,
∵f(x)是奇函數(shù),又是遞減函數(shù);
則,
可得恒成立,
令t=2x,(t>0)
則恒成立,
若,則,可得成立;
若,則,即,此時無解
綜上實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知傾斜角為的直線經(jīng)過點.以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)寫出曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線有兩個不同的交點,求的取值范圍.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵,將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵與芻童的組合體中,. 臺體體積公式: , 其中分別為臺體上、下底面面積, 為臺體高.
(1)證明:直線 平面;
(2)若,, ,三棱錐的體積,求 該組合體的體積.
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【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知an>0,an2+2an=4Sn+3.
(1)求a1的值;
(2)求{an}的通項公式:
(3)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,且長軸長為4.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若是橢圓的左頂點,經(jīng)過左焦點的直線與橢圓交于, 兩點,求與的面積之差的絕對值的最大值.(為坐標(biāo)原點)
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【題目】某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,并統(tǒng)計了他們的物理成績(成績均為整數(shù)且滿分為100分),把其中不低于50分的分成五段,,……,后畫出如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù);
(2)估計這次考試物理學(xué)科及格率(60分以上為及格);
(3)從物理成績不及格的學(xué)生中選x人,其中恰有一位成績不低于50分的概率為,求此時x的值;
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【題目】函數(shù),,已知曲線與在原點處的切線相同.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),在處取極大值,在處取極小值.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點個數(shù);
(2)在方程的解中,較大的一個記為;在方程的解中,較小的一個記為,證明:為定值;
(3)證明:當(dāng)時,.
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