Question

7．設(shè)等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₀：S₅=1：2，則$\frac{{{S_5}+{S_{10}}+{S_{15}}}}{{{S_{10}}-{S_5}}}$=$-\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，先求出q⁵=-$\frac{1}{2}$，然后代入即可．

解答 解：∵S₁₀：S₅=1：2≠2：1，
∴q≠1，
則$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{10}}{1-{q}^{5}}$=1+q⁵=$\frac{1}{2}$，
則q⁵=-$\frac{1}{2}$，
則$\frac{{{S_5}+{S_{10}}+{S_{15}}}}{{{S_{10}}-{S_5}}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{15}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}-\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}}$
=$\frac{3-{q}^{5}-{q}^{10}-{q}^{15}}{{q}^{5}-{q}^{10}}$=$\frac{3-（-\frac{1}{2}）-（-\frac{1}{2}）^{2}-（-\frac{1}{2}）^{3}}{-\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$=$-\frac{9}{2}$，
故答案為：$-\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．