【題目】已知數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 , 其中a2≠0.
(Ⅰ)求證數(shù)列{an}是首項為1的等比數(shù)列;
(Ⅱ)當a2=2時,是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.

【答案】證明:(Ⅰ)∵S1=a1 , ∴S2=a1+a2=a2a1+a1 ,
得:a2=a2a1
∵a2≠0,
∴a1=1,
由Sn+1=a2Sn+a1可得:Sn+2=a2Sn+1+a1 , 減去前式,有an+2=a2an+1 ,
,
也符合,
對n∈N*恒成立,數(shù)列{an}是首項為1,公比為a2的等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:a2=2=q,a1=1,
,
設存在等差數(shù)列{bn}.則有:

將a1=1代入①,b1=1,
再結(jié)合a2=2代入②,b2=2,
故等差數(shù)列{bn}若存在,由b1=1、b2=2必有bn=n.
下面證明數(shù)列{bn}滿足題意.
設Tn=a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=1×n+2×(n﹣1)+22×(n﹣2)+…+2n﹣2×2+2n﹣1×1 ③
則2Tn=2×n+22×(n﹣1)+23×(n﹣2)+…+2n﹣1×2+2n×1 ④,
④﹣③有:Tn=﹣n+2+22+…2n=2n+1﹣n﹣2,
∴存在等差數(shù)列{bn},bn=n使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對一切n∈N*都成立
【解析】(Ⅰ)由S1=a1 , S2=a1+a2=a2a1+a1 , 可得a1=1,利用遞推式Sn+1=a2Sn+a1 , Sn+2=a2Sn+1+a1 , 可得an+2=a2an+1 , 再利用等比數(shù)列的定義即可得出.
(II)a2=2=q,a1=1,可得: , 設存在等差數(shù)列{bn}.則有: , , 可得b1=1,b2=2,故等差數(shù)列{bn}若存在,由b1=1、b2=2必有bn=n.再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
【考點精析】掌握等比關系的確定和數(shù)列的前n項和是解答本題的根本,需要知道等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系

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x

6

8

10

12

y

6

m

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2

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