Question

6．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，則a_n=（　　）

• A． $\frac{n}{{2}^{n}}$
• B． n•2^n-1
• C． n•2ⁿ
• D． $\frac{n}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，由此利用累乘法能求出a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，①，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}+\frac{（n+1）{a}_{n-1}}{n-1}$=4，②
①-②，并整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{2（n-2）}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}=\frac{n-2}{2（n-3）}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{2×1}$，
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}×\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}×…×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×{a}_{1}$
=$\frac{n}{2（n-2）}×\frac{n-1}{2（n-2）}×…×\frac{2}{2×1}×1$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，適合此式，∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法的合理運(yùn)用．