Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-e^x，試判斷f（x）的單調(diào)性并給予證明．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)后，求出導(dǎo)函數(shù)的最大值，得到導(dǎo)函數(shù)的最大值小于0，從而得到原函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)．

解答 解：f（x）=x²-e^x，f（x）在R上單調(diào)遞減．
設(shè)g（x）=f′（x）=2x-e^x，則g′（x）=2-e^x，
當(dāng)x=ln2時(shí)，g′（x）=0，
當(dāng)x∈（-∞，ln2）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（-∞，ln2）上為增函數(shù)，在（ln2，+∞）上為減函數(shù)．
∴f′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f′（x）＜0恒成立
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．