8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，設(shè)F為橢圓的一個焦點，P是橢圓上一點，一條平行于x軸的直線l交橢圓于A，B，求證：AF+BF為定值．

分析 設(shè)F1為橢圓的另一焦點，可知：y軸將線段|AB|，|FF1|垂直平分．根據(jù)對稱性，可知AFF1B四點構(gòu)成等腰梯形，利用其性質(zhì)與橢圓的定義即可證明．

解答 證明：設(shè)F1為橢圓的另一焦點，
可知：y軸將線段|AB|，|FF1|垂直平分．
根據(jù)對稱性，可知AFF1B四點構(gòu)成等腰梯形，
∴對角線相等，即|AF1|=|BF|，
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF1|=2a，為定值．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC=AC=CC1，∠ACB=60°，D，E分別是A1C1，BB1的中點．
（Ⅰ）求證：B1D∥平面AC1E；
（Ⅱ）求證：平面AC1E⊥平面AA1C1C；
（Ⅲ）求直線AB與平面AC1E所成角的正弦值．

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13．如圖，在四面體P-ABC中，底面ABC是邊長為1的正三角形，AB⊥BP，點P在底面ABC上的射影為H，BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角C-AB-P的正切值為$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）求異面直線PC與AB所成角的余弦值．

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20．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D為BC的中點，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求證：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在點E，使得二面角E-AD-P的大小為45°，若存在，請求出PE的長，若不存在，請說明理由．

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17．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點是F，過F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足是P，直線l與雙曲線C的一個交點Q，若$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，則雙曲線C的離心率是（　　）
A．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$B．$\frac{\sqrt{5}}{2}$C．$\sqrt{3}$D．2

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18．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）取最大值時x的取值集合；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

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