Question

7．（1）設(shè)$α≠\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，請運(yùn)用任意角的三角比定義證明：tanα-cotα=（sinα+cosα）（secα-cscα）．
（2）設(shè)α≠kπ（k∈Z），求證：$sin2α（cot\frac{α}{2}-tan\frac{α}{2}）=4{cos^2}α$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行證明．

解答 證明：（1）設(shè)P（x，y）是角α終邊上任意一點(diǎn)，且$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=r＞0$，…（1分）
則由任意角的三角比定義，有$sinα=\frac{y}{r}，cosα=\frac{x}{r}$，$tanα=\frac{y}{x}，cotα=\frac{x}{y}$，
$secα=\frac{r}{x}，cscα=\frac{r}{y}$，…2分），
左邊=$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$…（3分），
右邊=（$\frac{y}{r}+\frac{x}{r}$）（$\frac{r}{x}-\frac{r}{y}$）=$\frac{x+y}{r}•r•\frac{y-x}{xy}$=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$
左=右，所以tanα-cotα=（sinα+cosα）（secα-cscα），原式成立． …（4分）
（2）證明左=2sinαcosα$•（\frac{1+cosα}{sinα}-\frac{1-cosα}{sinα}）$=4cos²α=右．…（8分）
故等式成立．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)式的證明，利用三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．