Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）
（1）已知a=2，f（2）=2，若f（x）≥2對x∈R恒成立，求f（x）的表達式；
（2）已知方程f（x）=0的兩實根x₁，x₂，滿足x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，設(shè)f（x）在R上的最小值為m，求證：m＜x₁．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）在x=2時，取最小值2，運用二次函數(shù)的頂點式 求解函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)題目條件，設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），m=f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²，
配方放縮得出m=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁＜x₁，可以證明問題．

解答 解：（1）由f（x）≥f（2）≥2，又知f（x）在x=2時，取最小值2，
∴f（x）=2（x-2）²+2，即f（x）=2x²-8x+10．
（2）∵方程f（x）=0的兩實根x₁，x₂，
設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以m=f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²
由x₁$＜\frac{1}{a}$＜x₂，得x₂-x₁$＞\frac{1}{a}$-x₁＞0²=$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁），又a＞0，
∴m=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁＜x₁

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，方程的根與對應(yīng)的二次函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)最值，運用證明問題，注意放縮的運用，難度較大，屬于中檔題．