Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+1），-1＜x＜1}\\{f（2-x）+a-1，1＜x＜3}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁+x₂與2的大小關(guān)系是（　�。�

• A． 恒大于2
• B． 恒小于2
• C． 恒等于2
• D． 與a相關(guān)．

Answer 1

分析 若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，則-1＜2-x₂＜1，代入分段函數(shù)解析式，求得x₁+x₂，再討論0＜a＜1和a＞1，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，則-1＜2-x₂＜1，
則log_a（x₁+1）=t，則x₁=a^t-1，
且log_a（3-x₂）+a-1=t，則x₂=3-a^t+1-a，
則x₁+x₂=2+（a^t-a^t+1-a）
由a＞0且a≠1，
當0＜a＜1時，y=a^x為減函數(shù)，且t＜t+1-a，
則a^t＞a^t+1-a，此時x₁+x₂＞2；
當a＞1時，y=a^x為增函數(shù)，且t＞t+1-a，
則a^t＞a^t+1-a，此時x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)及運用，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．