Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（x，y）為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A（-1，0），則

|PF|

|PA|

的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  2

  ，1]
• B、[

  1

  2

  ，1]
• C、[

  2

  2

  ，

  2

  ]
• D、[1，2]

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過(guò)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則|PF|=|PB|，可得

|PF|

|PA|

=sin∠BAP．設(shè)過(guò)A拋物線的切線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，可得△≥0，即可得出．

解答： 解：過(guò)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則|PF|=|PB|，
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（-1，0），點(diǎn)A（-1，0），
∴

|PF|

|PA|

=sin∠BAP，
設(shè)過(guò)A拋物線的切線方程為y=k（x+1），代入拋物線方程可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴△=（2k²-4））²-4k⁴≥0，
∴k²≤1．
∴|tan∠BAP|≤1，
∴sin∠BAP∈[

2

2

，1]．
則

|PF|

|PA|

的取值范圍是：[

2

2

，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．